Вектор Умова Плотностью пото ка




Скачати 156.32 Kb.
НазваВектор Умова Плотностью пото ка
Дата конвертації04.10.2013
Розмір156.32 Kb.
ТипЛекция
mir.zavantag.com > Математика > Лекция
ЛЕКЦИЯ 10
Плотность потока энергии волны. Вектор Умова
Плотностью потока энергии волны называется вектор, направленный в сторону распространения волны и численно равный отношению потока энергии dΦ, сквозь малый элемент dS поверхности к площади dSn проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную к направлению распространения волны:

.

Выразим плотность потока энергии через объемную плотность энергии w. Согласно определению, плотность потока энергии волны равна

, (10.1)

где энергия dW = wdtdSn равна энергии, переносимой через попереч-

ное сечение параллелепипеда, dSn, перпендикулярное к направлению распространения волны. Объем данного параллелепипеда равен dtdSn (см. рис. 10.2).

Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением скорости распространения волны, т. е.

. (10.2)

Таким образом, вектор плотности потока энергии волны равен произведению вектора скорости распространения энергии волны на величину ее объемной плотности. Вектор называется вектором Умова.
Из формул (10.18) и (10.19) следует, что объемная плотность энергии и плотность потока энергии синусоидальной волны пропор

Рис. 10.1

циональны квадрату амплитуды волны и квадрату частоты волны. Формула (10.20) справедлива для плотности потока энергии волн любого типа.
^ ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
Волновой пакет. Групповая скорость волны
Все реальные волны отличаются от синусоидальных. Оказывается, что любую несинусоидальную волну можно заменить эквивалентной ей системой синусоидальных волн. Описание волны упрощается, если волна мало отличается от синусоидальной - квазисинусоидальная волна.

Квазисинусоидальная волна представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых мало отличаются от некоторой основной частоты . Такую несинусоидальную волну называют группой волн, или волновым пакетом.

Дисперсией. называется зависимость свойства среды (например, скорость распространения волны) от частоты

Рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси ОХ. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы равны нулю, а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к другу:

s1 = Asin(tkx),
s2 = Asin(tkx)

Для результирующей волны получим:

s = s1 + s2 = 2A0 cos(t – kx)sin(tkx),

где:

/

Амплитуда А этой волны постоянной не является, а зависит от координаты х и времени:

A = 2A0 cos(t – kx).

Выражение для амплитуды волнового пакета также является уравнением плоской синусоидальной волны, которая является волной амплитуды колебаний. Фаза этой волны равна:

ФA = t – kx.

Скорость и распространения энергии волнового пакета наз. групповой скоростью, которая равна фазовой скорости волны амплитуды. Дифференцируя выражение для ФА и полагая ФА = const, получим:

.

В пределе, когда  и Δk стремятся к нулю, получим:

. (10.3)

С учетом того, что, формула (10.1) примет вид:

. (10.4)

Подставив в (10.2) выражение частоты через фазовую скорость  , и выполнив дифференцирование, получим:

. (10.5)

Формула (10.3) устанавливает соотношение между групповой и фазовой скоростью волн, и получила название формулы Рэлея. Скорость и называется групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн (d/d = 0) групповая скорость волн в пакете совпадает с их фазовой скоростью.

Так как скорость группы волн характеризует распространение амплитуды волнового пакета, то групповая скорость определяет скорость распространения энергии волны.

^ Интерференция и дифракция волн. Стоячие волны.
Принцип Гюйгенса.

Интерференцией волн называют явление, которое возникает при наложении двух или нескольких волн и состоящее в устойчивом во времени их взаимном усилении в одних точках пространства и ослаблении в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

^ Интерферировать могут только те волны, которые удовлетворяют следующим условиям:

- волны должны быть синусоидальными,

- частоты колебаний волн должны быть одинаковы, такие волны называются монохроматическими,

- разность фаз интерферирующих волн не зависит от времени, такие волны называются когерентными,

- колебания в волнах совершаются вдоль одного и того же направления.

При интерференции волн отсутствует простое суммирование их энергий, интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между соседними областями среды.
^ Если волна огибает какое-либо препятствие, то за ним также будет наблюдаться интерференционная картина. Такое явление называется дифракцией волны.





Рис. 10.2
На основе наблюдений Гюйгенсом был предложен принцип, который объясняет распространение волны: каждая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны, а огибающая фронтов вторичных волн является фронтом новой волны.

Явления интерференции и дифракции проявляются не только при распространении механических волн, но и световых.
^ Стоячие волны. Уравнение стоячей волны
При отражении от менее плотной среды фаза колебаний не изменяется, а при отражении от более плотной среды фаза изменяется на . В результате сложения падающей и отраженной волны образуется стоячая волна.

Если уравнение падающей волны s1 = Acos(tkx), то при отражении от менее плотной среды уравнение отраженной волны S2 = Acos(t + kx). Складывая оба этих уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим:

s = s1 + s2 = 2A cos kx cos t. (10.6)

Поскольку k = 2/, то имеем

. (10.7)

Уравнение (10.4) есть уравнение стоячей волны. Видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты , что и у встречных волн.

Величина является амплитудой стоячей волны. В точках, в которых выполняется условие

, (n = 0, 1, 2, …), (10.8)

амплитуда колебаний максимальна и равна 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей:

, (n = 0, 1, 2, 3, …). (10.9)

В точках, в которых выполняется условие

, (n = 0, 1, 2, …),

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Координаты узлов:

, (n = 0, 1, 2, …). (10.10)

Расстояние между соседними узлами или пучностями равна и называется длиной стоячей волны.

^ Стоячие волны энергии не переносят. В пучностях стоячей волны кинетическая энергия максимальна, а в узлах максимальна потенциальная энергия.
Эффект Доплера
Эффе́кт До́плера — изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника.


Рис. 10.3



Рис. 10.4
Источник волн перемещается налево. Тогда слева частота волн становится выше (больше), а справа — ниже (меньше),

т.е. если источник волн догоняет испускаемые им волны, то длина волны уменьшается. Если удаляется — длина волны увеличивается.
Пусть измеряемая наблюдателем частота звуковых волн , а частота колебаний источника волн - ν0 Найдем связь между  и ν0 для равномерного движения точечного источника звука И (рис. 10.2) и наблюдателя Н вдоль соединяющей их прямой линии





Рис. 10.2
Фронты синусоидальных звуковых волн давления перемещаются в направлении распространения этих волн с фазовой скоростью . Поэтому, если источник звука И неподвижен по отношению к среде и в некоторый момент t = 0 вблизи него находится сгущение, то к моменту t = T, где T – период гармонических колебаний источника звука, это сгущение переместится на расстояние T, а вблизи источника образуется новое сгущение. Расстояние T между сгущениями равно длине звуковой волны, возбуждаемой в среде неподвижным источником.

В случае движения источника звука (рис. 10.2) за время T сам источник перемещается вправо на расстояние 1Т. Поэтому, расстояние между двумя соседними сгущениями, т. е. длина волны , уменьшится на величину 1Т, а частота ν1 , регистрируемая неподвижным наблюдателем, соответственно увеличится:

(10.11)

Формула (10.8) объясняет различие высоты тона звукового сигнала приближающегося к наблюдателю и удаляющегося от него источника звука (например, поезда). В первом случае 1 > 0 и ν1 > ν0 , а во втором 1 < 0 и ν1 < ν0 .

Если наблюдатель также движется со скоростью 2 навстречу источнику звука (рис. 10.2), то число сгущений звуковой волны, регистрируемых наблюдателем за 1 с:

 = 1 + ,

где  = 2 1 = (2 /)ν1 – дополнительное число сгущений, регистрируемых наблюдателем в результате перемещения за 1 с на расстояние, численно равное его скорости 2. Таким образом, регистрируемая частота  и частота источника ν0 связаны соотношением:

. (10.12)

Полученная формула справедлива для встречного движения
источника и наблюдателя. Можно показать, что для произвольного направления движения источника и наблюдателя формула (10.13) для частоты воспринимаемого звука от движущегося источника примет вид:

. (10.13)

Если источник и наблюдатель движутся в направлении распространения скорости звуковой волны, то скорости 1 и 2 в формуле
(10.14) положительны. Если источник и наблюдатель движутся в противоположных направлениях, то эти скорости отрицательны.
^ ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНУЮ ТЕОРИЮ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Ограниченность законов классической механики
С развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики – обнаружено постоянство скорости света. Оказалось, что независимо от скорости движения источников и приемников света скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и равна величине c=2,998 ∙108 м/с.

Подверглись радикальному пересмотру ньютоновские представления о пространстве и времени, а также постулаты классической механики - создана “механика больших скоростей” - релятивистской механики.
^ Преобразования Галилея
В основе классической механики лежит принцип относительности Галилея.
Р
ассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К , причем система рис. 10.3
отсчета К  движется относительно системы К с постоянной скоростью . ^ Связь между координатами x, y, z некоторой точки М в системе К и координатами x , y , z  той же точки в системе К , как следует из рис. 10.3, будет иметь вид:

, , , . (10.14)

Уравнения (10.14) называются преобразованиями Галилея.
Продифференцировав соотношения (10.14) по времени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к системам отсчета
К и К :

(10.15)

Или в векторной форме:

. (10.16)

Полученные соотношения (10.15) и (10.16) представляют собой правило сложения скоростей в классической механике.

Продифференцировав соотношение (10.16) по времени, получим

. (10.17)

Из равенства (10.17) следует, что ускорение в инерциальных системах отсчета К и К  одинаково.

Отсюда согласно второму закону Ньютона вытекает, что силы, действующие на тело в инерциальных системах отсчета, также будут одинаковыми. Поэтому, уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Этот вывод является математическим выражением механического принципа относительности Галилея: в любых инерциальных системах отсчета все механические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково.
^ Постулаты Эйнштейна
Эйнштейном были сформулированы постулаты специальной теории относительности, т.е. наиболее бесспорные предположения, принятые без доказательств:

1) в любых инерциальных системах отсчета все физические явления (механические, электромагнитные и др.) при одних и тех же условиях протекают одинаково; иначе говоря, с помощью любых опытов, проведенных в замкнутой системе тел, нельзя обнаружить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно;

^ 2) скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света; она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета.
Преобразования Лоренца и их следствия
Эйнштейн показал, что в соответствии с двумя постулатами теории относительности связь между координатами и временем в двух инерциальных системах отсчета К и К , изображенных на рис. 10.3, выражается не преобразованием Галилея (10.1), а преобразованием Лоренца:

, (10.18)

или

, (10.19)

где .

В основу вывода этих формул было положено условие равноправности всех систем отсчета, согласно которому преобразования должны быть линейными.

^ Из преобразований (10.19), следует, что при 0 << c оно совпадает с преобразованиями Галилея .

Рассмотрим следствия из преобразований Лоренца.

а) Одновременность событий в разных системах отсчета.

Пусть в системе ^ К в точках с координатами x1 и x2 происходят одновременно два события в момент времени . Согласно (10.6) в системе К/ этим событиям будут соответствовать координаты

и

и моменты времени

и .

Анализ приведенных соотношений показывает, что если события в системе ^ К происходят в одном и том же месте (x1 = x2), то они будут совпадать в пространстве и будут одновременными в системе К . Если же в системе К события пространственно разнесены , то в системе К  они также пространственно разобщены , но не будут одновременными .

б) Длина тел в различных системах.

Пусть стержень расположен вдоль оси х и покоится относительно системы К . Длина его в этой системе равна , где и ‑ не изменяющиеся со временем t координаты концов стержня. Относительно системы К стержень движется со скоростью 0. Для определения его длины в этой системе отметим координаты концов x1 и x2 в один и тот же момент времени t1 = t2 = b. Тогда длина стержня в системе К равна l = x2x1 . Из преобразований Лоренца следует

.

Тогда, длина стержня в системе К  равна , или

. (10.7)

Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе, относительно которой он движется, отказывается меньше длины l0, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Отметим, что в направлении осей у и z размеры стержня одинаковы во всех системах отсчета.

в) Длительность событий в различных системах.

Пусть в точке, неподвижной относительно системы К , происходит событие длительностью . Поскольку событие происходит в точке, то . Относительно системы ^ К точка, в которой происходит событие перемещается со скоростью 0. Согласно преобразованиям Лоренца началу и концу события в системе К соответствуют моменты времени t1 и t2, которые равны

, .

Временной интервал между событиями в этой системе равен

.

Обозначим t2t1 = t. Тогда

. (10.8)

Из (10.8) следует, что t, определенное по часам, движущимся относительно покоящейся системы, больше t0 , измеренной по часам, неподвижным относительно системы. Согласно (10.8) t0 < t, откуда следует, что движущиеся части идут медленнее, чем покоящиеся часы.

Время t0 , отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела. Собственное время одинаково во всех инерциальных системах.
^ 10.4 Закон сложения скоростей в релятивистской механике
Положение материальной точки в неподвижной системе координат в каждый момент времени t определяется значением x, y, z. Проекции вектора скорости на координатные оси равны:

, , .

В системе К  положение точки в момент времени t определяется координатами x, y, z. Проекция на оси x, y, z вектора скорости относительно систем К :

, , .

Из преобразования Лоренца (10.6) следует:

, , , .

Разделив первые три равенства на четвертое, получим формулы преобразования скоростей в релятивистской механике:

, , . (10.9)

Если 0 << c, то соотношения (10.9) переходят в формулы сложения скоростей в классической механике.

Если тело движется параллельно оси х, его скорость  относительно системы К совпадает с x и равна:

. (10.10)

Пусть  равна с. Тогда скорость  по формуле (10.10) равна

.

Полученное соотношение утверждает, что скорость тела равна скорости света с, что подтверждает второй постулат Эйнштейна.

Схожі:

Вектор Умова Плотностью пото ка iconIV. векторная алгебра и аналитическая геометрия
Вектор имеет две характеристики: длину, называемую также модулем и обозначаемую, и направление. Принято также вектор обозначать двумя...
Вектор Умова Плотностью пото ка iconВектором називається впорядкована пара точок, тобто напрямлений відрізок....
Основні поняття. Вектором називається впорядкована пара точок, тобто напрямлений відрізок. Якщо точка – початок, а точка – кінець...
Вектор Умова Плотностью пото ка iconАнкета учасниці «Формування ґендерної культури молодих подолян: інформаційно...
«Формування ґендерної культури молодих подолян: інформаційно-просвітницький вектор»
Вектор Умова Плотностью пото ка iconРазбиваем интервал значений данных [-32. 07, 34] на 5 интервалов...
Время ξ (в мин.) между прибытием двух автомашин к светофору является случайным с плотностью распределения
Вектор Умова Плотностью пото ка iconПетербург Издательство «Вектор»
Даже сами их названия, милые слуху каждого гурмана, возбуждают аппетит: плов, шашлык
Вектор Умова Плотностью пото ка iconПрограмма образовательной площадки проекта «Вектор молодежи»
Корпоративное планирование, бюджетирование, управление проектами и бизнес-планирование
Вектор Умова Плотностью пото ка iconТема: Основи паблік-рілейшнз як головна умова ефективного спілкування...

Вектор Умова Плотностью пото ка icon1 Участь у турнірі може брати кожен бажаючий, єдина умова учасник повинен бути студентом
Участь у турнірі може брати кожен бажаючий, єдина умова учасник повинен бути студентом
Вектор Умова Плотностью пото ка iconКоординаційний центр Євроклубів «Pu-Re»
«Основи паблік-рілейшнз (зв’язків з громадськістю) як головна умова ефективного спілкування та комунікації досягнення цілей»
Вектор Умова Плотностью пото ка iconОлександра Довженка Кафедра загальної І соціальної педагогіки та психології
Тема 3 Комплексний підхід до виховання як умова забезпечення різнобічного розвитку особистості
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2013
звернутися до адміністрації
mir.zavantag.com
Головна сторінка