4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів




Скачати 109.45 Kb.
Назва4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів
Дата конвертації14.07.2013
Розмір109.45 Kb.
ТипДокументы
mir.zavantag.com > Математика > Документы
4. СТОХАСТИЧНИЙ ОПИС ТА АНАЛІЗ ЛДС

ПРИ ДІЇ ВИПАДКОВИХ СИГНАЛІВ
В попередньому розділі ми розглянули різні методи опису ЛДС та аналізу дії на них дискретних детермінованих сигналів. Але в багатьох випадках розгляд роботи ЛДС у детермінованій постановці не достатній. Це в першу чергу стосується дослідження задач фільтрації корисних сигналів на фоні різного роду завад та шумів, аналіз впливу на якість обробки цифрових сигналів шумів квантування, побудова оптимальних та квазіоптимальних систем ЦОС, зокрема, адаптивних цифрових систем, та інш. В такого типу задачах слід розглядати дію на ЛДС випадкових сигналів.

Відмінність аналізу дії випадкових сигналів від детермінованих на систе6ми обробки інформації, в тому числі і на ЛДС, полягає в наступному. В детермінованій постановці відома реалізація вхідного сигналу і та чи інша характеристика системи (див. п. 3). Потрібно знайти реалізацію сигналу на виході. В стохастичній же постановці теж потрібно знати характеристики системи, але вхідний випадковий сигнал задається не реалізацією1 (у більшості випадків таких реалізацій, в усякому разі теоретично, незліченна кількість), а своїми ймовірнісними характеристиками. Це можуть бути розподіли ймовірностей (функція розподілу або щільність розподілу ймовірностей, моментні функції (математичне сподівання, дисперсія, кореляційна функція), характеристичні функції, кумулянти і т.п. У цьому випадку на виході системи потрібно те ж знайти не реалізацію випадкового вихідного сигналу (за винятком ергодичних процесів вона є малоінформативною), а його ймовірнісні характеристики.

Отже, в цьому розділі розглянемо особливості визначення статистичних характеристик відгуків ЛДС при дії на вході дискретних випадкових сигналів різних видів (див. п.2). Оскільки для практики найбільш вагомими є спектрально-кореляційні характеристики випадкових сигналів, то саме їм буде приділена основна увага. Звичайно, повним розв’язком задачі стохастичного аналізу ЛДС є визначення хоча б одновимірного розподілу ймовірностей сигналу на виході. Але для багатьох типів випадкових процесів розв’язок задачі стохастичного аналізу у такому обсязі аналітичним шляхом є досить складним, або навіть неможливим. Стохастичний аналіз лінійних систем (в тому числі і ЛДС) в термінах розподілів ймовірностей можливий для гауссівських процесів і лінійних випадкових процесів.

Зауважимо також, що оскільки математичною моделлю випадкового сигналу є випадковий процес, то надалі в цьому розділі будемо говорити про випадкові процеси нам вході і виході ЛДС.
4.1. Кореляційний аналіз дії випадкового сигналу на ЛДС
Розглянемо деяку ЛДС (див. рис. 4.1), на вході якої діє дискретний випадковий процес , де - нормований відносно інтервалу дискретизації час. Відомі розподіли ймовірностей вхідного процесу та імпульсна характеристика



Рис. 4.1. Лінійна дискретна система
ЛДС. Потрібно знайти моментні функції (математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію) процесу на виході . Таке дослідження процесу на виході ЛДС називають аналізом в рамках кореляційної теорії.

^ Математичне сподівання відгуку. Спочатку розглянемо знаходження математичного сподівання процесу на виході ЛДС. Скориставшись результатами підрозділу 3.2, формально можемо записати для відгуку ЛДС

. (4.1)

Візьмемо тепер математичне сподівання лівої і правої частин співвідношення (4.1). Маємо

.

Враховуючи властивості математичного сподівання, зокрема, його адитивність, можемо поміняти місцями знак суми і математичного сподівання. Тоді

.

Введемо позначення для математичних сподівань: і . Тепер остаточно запишемо

(4.2)

Отже, згідно зі співвідношенням (4.2), математичне сподівання відгуку ЛДС у певний момент часу дорівнює зваженій сумі значень математичного сподівання вхідного процесу . Роль вагових коефіцієнтів відіграють відповідні значення імпульсної характеристики ЛДС.

Зазначимо, що згідно з умовою фізичної можливості (див. п. 3.2) коли . Тому в (4.2) всі доданки з дорівнюють нулеві, тобто можна записати

(4.3)

Приклад 4.1. На нерекурсивну ЛДС з імпульсною характеристикою



діє дискретній випадковий сигнал математичне сподівання якого , де - дискретний одиничний стрибок (див. формулу (3.11)). Знайти математичне сподівання , де - процес на виході ЛДС.

Згідно з умовою задачі та формулою (4.3) можемо записати



Якщо ЛДС є стаціонарною, тобто коефіцієнти різницевого рівняння не залежать від часу, то її імпульсна характеристика залежить лише від одного дискретного часового аргументу (див. рис. 4.2) і тоді співвідношення (4.1) запишеться у такому вигляді:

. (4.4)

Тоді, розмірковуючи аналогічно, для математичного сподівання запишемо

(4.5)

Таким чином, для стаціонарної ЛДС математичне сподівання відгуку на її виході при дії на вході випадкового процесу представляє собою дискретну згортку імпульсної характеристики системи і математичного сподівання впливу.



Рис. 4.2. Стаціонарна лінійна дискретна система
Для фізично існуючих стаціонарних ЛДС імпульсна характеристика коли , тому (4.5) можна записати так:

(4.6)

Приклад 4.2.

Для випадкових дискретних сигналів, що існують лише на додатній вісі, тобто мають вигляд співвідношення (4.3) і (4.6) можна записати так:



і



Кореляційна функція відгуку ЛДС. Перейдемо тепер безпосередньо до розгляду кореляційної функції процесу на виході ЛДС. При цьому дисперсію зможемо знайти як частинний випадок кореляційної функції коли зсув між значеннями відгуку дорівнює нулеві.

Оскільки при знаходженні кореляційної функції випадкового процесу використовується процедура центрування останнього, то спершу розглянемо представлення центрованого процесу на виході ЛДС. Центрований дискретний процес на виході ЛДС позначимо так:

,

де . Тепер, використовуючи співвідношення (4.1) і (4.2), можемо записати

=



, (4.7)

,

де позначено центрований вхідний процес .

Отже при проходженні через ЛДС центрованого процесу на виході також отримаємо центрований випадковий процес. Іншими словами, якщо на вході ЛДС діє випадковий процес з нульовим математичним сподіванням, то і на виході отримаємо процес з нульовим математичним сподіванням.

Тоді, враховуючи означення, наведені в п. 2 і співвідношення (4.7), можемо записати для кореляційної функції відгуку ЛДС





.

Зазначимо тепер, що



є кореляційна функція процесу на вході ЛДС. Враховуючи це, остаточно отримаємо

, (4.8)


Таким чином, кореляційна функція процесу на виході ЛДС повністю визначається кореляційною функцією процесу на вході та імпульсною характеристикою системи.

Приклад 4.3.

Розглянемо тепер стаціонарну ЛДС. Тоді, оскільки для такої системи імпульсна характеристика не залежить від моменту подачі тестую чого одиничного імпульсу (див. п. 3), для кореляційної функції отримаємо

, (4.9)



Аналогічно, як і для математичного сподівання, з урахуванням умов фізичної можливості ЛДС в термінах імпульсної характеристики, нескінченні верхні межі підсумовування в правих частинах співвідношень (4.8) і (4.9) можуть бути замінені на поточні значення нормованих часових аргументів кореляційних функцій, тобто

, (4.10)

,

для нестаціонарних ЛДС, і

, (4.11)

,

для стаціонарних ЛДС.

Приклад 4.4.

Для дискретного випадкового сигналу, що починається у момент часу , тобто відмінний від нуля лише на додатній вісі, обчислення кореляційних функцій відгуків фізично існуючих ЛДС (нестаціонарних і стаціонарних відповідно) виконується за наступними виразами:

, (4.12)

,

і

, (4.13)

,

Нагадаємо тепер, що коли для кореляційної функції деякого дискретного процесу покласти , то отримуємо дисперсію цього процесу . Таким чином, використовуючи отримані вище вирази (4.8) – (4.13) для кореляційної функції, можемо записати співвідношення для дисперсії відгуку ЛДС. Так, для нестаціонарної ЛДС дисперсія процесу на виході

, (4.14)



Співвідношення (4.14) вказує на те, що значення дисперсії відгуку ЛДС у будь-який момент часу є зваженою сумою не лише значень дисперсії вхідного процесу , а і значень кореляційної функції впливу коли але . При цьому роль вагових коефіцієнтів відіграють відповідні значення імпульсної характеристики ЛДС.

Приклад 4.5.

У разі стаціонарності ЛДС співвідношення для дисперсії відгуку отримаємо із формули (4.9)

, (4.15)



З урахуванням умов фізичної можливості, тобто, коли ЛДС при формуванні сигналу на виході «враховує» лише нинішні та минулі значення вхідного процесу і «не враховує» майбутні значення, формули (4.14) і (4.15) запишуться відповідно так:

,

і

,

Приклад 4.6.

Ці ж формули для дискретного випадкового сигналу, що відмінний від нуля лише на додатній вісі набудуть такого вигляду:

,

для нестаціонарної ЛДС і

,

Приклад 4.7.

Взаємна кореляційна функція впливу і відгуку ЛДС. Знову розглянемо ЛДС (див. рис. 4.1). Використовуючи зображення центрованого відгуку системи , представленого правою частиною співвідношення (4.1), можемо записати для взаємної кореляційної функції вхідного процесу і процесу на виході ЛДС у такому вигляді:

.

Оскільки перший співмножник в квадратних дужках у правій частині не залежить від індексу підсумовування, то його можна внести під знак суми і записати



, (4.16)

Із отриманого співвідношення (4.16) випливає, що взаємна кореляційна функція двох процесів, вхідного і вихідного залежить лише від автокореляційної функції впливу і імпульсної характеристик ЛДС. Отже отримуємо, що вихідний процес в явному вигляді не входить у праву частину співвідношення (4.16) для визначення взаємної кореляційної функції. Таке положення обумовлено тим, що сам процес повністю визначається вхідним впливом і імпульсною характеристикою системи (див. формулу (4.1)).

Приклад 4.8.
^ 4.2. Дія стаціонарного випадкового процесу на ЛДС
У попередньому підрозділі ми розглянули стохастичний аналіз в рамках кореляційної теорії дії на ЛДС дискретного випадкового процесу без будь-яких обмежень на його ймовірнісні характеристики. Тепер розглянемо дію на ЛДС випадкового процесу, який задовольняє умовам стаціонарності (див. п. 2.4). Оскільки ми розглядаємо стохастичний аналіз в рамках кореляційної теорії, то обмежимось стаціонарністю у широкому розумінні.

Отже нехай на нестаціонарну ЛДС з імпульсною характеристикою діє стаціонарний у широкому розумінні дискретний випадковий процес (див. рис. 4.1). На виході маємо відгук Потрібно знайти його математичне сподівання , дисперсію та кореляційну функцію .

Математичне сподівання. Для знаходження математичного сподівання скористаємось формулою (4.2), в якій врахуємо те, що для стаціонарного процесу його математичне сподівання не залежить від часу, тобто . Тоді можемо записати

(4.16)

Отже, як бачимо, математичне сподівання відгуку залежить від часу. Таким чином, якщо на нестаціонарну ЛДС діє стаціонарний процес, то на виході отримуємо відгук у вигляді нестаціонарного процесу.

Далі ми не будемо переписувати співвідношення (4.16) з урахуванням фізичної реалізованості ЛДС та відсутності ненульових відліків вхідного процесу на від’ємній вісі часу. Ці співвідношення читач легко може отримати самостійно на основі формули (4.16), замінивши в останній відповідним чином межі підсумовування, як це було зроблено в п. 4.1.

Приклад 4.9. На ЛДС з імпульсною характеристикою, поданою у вигляді табл. 4.1, діє стаціонарний дискретний випадковий процес з математичним сподіванням Знайти математичне сподівання

Таблиця 4.1




0

1

2

3



1

0,5

0,25

0,125



процесу на виході ЛДС.

Оскільки імпульсна характеристика є скінченою і залежить лише від поточного часу , то ми маємо справу з нерекурсивною стаціонарною ЛДС. Тому для математичного сподівання процесу на виході системи можемо записати:

,

де нижня границя підсумовування у зв’язку з тим, що імпульсна характеристика має лише 4 ненульових значення, починаючи з моменту часу . Дійсно, при під знаком суми маємо значення імпульсної характеристики . При отримуємо значення імпульсної характеристики . Коли маємо . Для маємо . Нарешті, якщо , то отримуємо нульове значення імпульсної характеристики, тобто . Такі ж нульові значення маємо і при інших значеннях .

Підставляючи дані із табл. 4.1 в отриману вище формулу, знаходимо

,

Таким чином, математичне сподівання процесу на виході стаціонарної ЛДС, як і на вході, не залежить від часу.

Кореляційна функція відгуку ЛДС при дії стаціонарного процесу. Спершу введемо такі позначення: для центрованого стаціонарного процесу на вході ЛДС



і для процесу на виході



Тоді, враховуючи зв’язок між центрованими процесами на вході і виході ЛДС (4.7), кореляційна функція процесу на виході





. (4.17)

Оскільки для стаціонарного процесу кореляційна функція залежить лише від різниці моментів часу (див. п. 2.4), тобто

,

то (4.17 ) можна записати у такому вигляді



.

Отже якщо на вході нестаціонарної ЛДС діє стаціонарний процес, то на виході маємо нестаціонарний відгук.


1 У тому випадку, коли випадковий сигнал описується ергодичним випадковим процесом, то достатньо мати лише одну реалізацію, але на досить значному часовому інтервалі.




Схожі:

4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів iconДисципліна «Цифрова обробка сигналів» Модуль 1 «Лінійні дискретні...
Умова фізичної можливості лдс в термінах імпульсної та перехідної характеристик лдс
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів iconРозрахунково-граф І чна робота дисципліна: Цифрова обробка сигналів Завдання
Лдс; І коефіцієнти рівняння, які є певними постійними числами; приріст -го порядку, наприклад, для відгуку лдс
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів icon3 Опис лінійних дискретних систем у частотній області
Такий спосіб зображення лінійних систем знайшов досить широке застосування при їх аналізі І синтезі. Зауважимо, що далі в цьому підрозділі...
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів iconРозділ Закон великих чисел Деякі типи збіжностей послідовностей випадкових величин
Основні означення. Нехай задана послідовність випадкових величин,…, що визначені на одному І тому ж ймовірнісному просторі
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів iconОсоблива частина
...
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів iconОпис навчальної дисципліни
Нотаріат в Україні це система органів І посадових осіб, на які покладено обов’язок посвідчувати права, а також факти, що мають юридичне...
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів icon1 Хворому при безсонні, викликаному емоційними розладами, лікар призначив...
Нестероїдний протизапальний засіб індометацин. Який механізм дії цього препарату?
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів iconТематика контрольної роботи з дисципліни «Страхові послуги»
Термін дії договору страхування в окремих видах страхування: порівняльний аналіз
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів icon3: Учасники кримінального провадження
Рішення І дії дізнавача, слідчого та прокурора можуть бути оскаржені до суду першої інстанції І повинні бути розглянуті при підготов­чому...
4. стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів iconВибір, обґрунтування та опис зовнішнього вигляду моделі виробу
Технологічне обладнання для заготівельних та монтажних операцій при пошитті виробу
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2013
звернутися до адміністрації
mir.zavantag.com
Головна сторінка