Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач




Скачати 166.85 Kb.
НазваМатематичні методи І моделі розв’язку економічних задач
Дата конвертації15.10.2013
Розмір166.85 Kb.
ТипДокументы
mir.zavantag.com > Математика > Документы
§1. Математичні методи і моделі розв’язку економічних задач.

Фахівці в області економічних досліджень вважають, що динамічний розвиток економіки тісно пов’язаний із більш широким застосуванням математичних методів і моделей. Якщо раніше домінував чисто якісний аналіз, то насьогодні вже виявлені кількісні закономірності та побудовані математичні моделі багатьох економічних явищ і процесів. Як результат, спостерігається більш глибоке проникнення в саму природу досліджуваних процесів та явищ. Деякі закономірності були виявлені чисто математичним шляхом, а беспосереднє спостереження не дозволяло встановити навіть їх присутність. Тому математичне моделювання економічних явищ та процесів, шляхом послідовного встановлення логічних причинно-наслідкових зв’язків, для забеспечення можливості спостереження, контролю і управління ними є найбільш ефективним засобом рішення різноманітних проблем економічно розвинутого суспільства.

^ Математичне моделювання – це теоретико-експерементальний метод познавально-творчої діяльності, метод досліджень і пояснення явищ, процесів та систем (об’єктів-оригіналів) на основі створення нових об’єктів – математичних моделей.

^ Математична модель об’єкта (системи) — це його спрощений образ, поданий у вигляді сукупності математичних співвідношень (рівнянь, нерівностей, логічних співвідношень, графіків тощо).

Математичні методи досліджень усе ширше застосовуються в таких сферах людської діяльності, як економіка, екологія, соціологія, комерційна діяльність, маркетинг. Складність отримання кількісних оцінок деяких процесів і явищ для побудови адекватних математичних закономірностей досить сильно стимує «математизацію» процесів економіки, що і стало приводом для появи таких міждисциплінарних предметів як економіко-математичне моделювання, економетрія, дослідження операцій.

Економічна діяльність пов’язана з постійним пошуком найбільш вигідного (оптимального за даних умов) варіанту розподілу різних видів ресурсів: фінансових, трудових, товарних, технічних та інших. Ускладнення внутрішніх та зовнішніх взаємозв’язків підприємств, наявність великої кількості показників, факторів і обмежень діяльності окремого підприємства, а також швидкий ріст конкуренції не дозволяють сформувати оптимальний план функціонування і розвитку об’єктів економіки без використання специфічних методів і моделей. Крім того, час для розв’язку задач і прийняття рішень обмежений, і тому не завжди вдається вчасно і якісно скласти оптимальний план.

Існуючі математичні методи та моделі дозволяють розв’язувати задачі навіть великої розмірності, тобто з урахуванням великої кількості показників і факторів впливу, а використання обчислювальної техніки і прикладного програмного забеспечення, значно скорочує тривалість обчислювальних процедур.

У цілому можна виділити три основні групи задач економічної діяльності, що можуть бути вирішені завдяки економіко-математичному моделюванню: виробництво продукції, комерційне посередництво і торгівля. Комерційна діяльність – це акти куплі-продажу товарів у сфері товарного обігу, орієнтовані на попит споживача, передача товарів у власність торгівельного підприємства для реалізації і отримання прибутків з найменшими витратами.

У процесі формулювання задачі економічної діяльності необхідно враховувати ступінь ризику та невизначенності: штрафи, нестабільність ринкових цін на сировину і ресурси, зміна купівельної спроможності грошової одиниці та попиту, постійне зростання вимог до якості товарів, тощо. Використання математичних методів і моделей, навіть в умовах ризиків та невизначенності дозволяє розробити оптимальні варіанти рішення таких задач.

Не існує загальних рекомендацій щодо процесу моделювання, тому в кожному конкретному разі вимоги до побудови математичної моделі залежать від цілей та умов досліджуваної системи.

У процесі застосування математичного моделювання в економіці чітка постановка задачі та її формалізація є найскладнішим етапом дослідження, що вимагає ґрунтовних знань передусім економічної суті процесів, які моделюються. Однак, вдало створена математична модель може надалі застосовуватись для розв’язування інших задач, які не мають відношення до ситуації, що початково моделювалася.

Більшість задач планування і управління в галузях народного господарства, а також широкий спектр задач комерційної діяльності розв’язуються методами математичного програмування і відносяться до, так званих, оптимізаційних задач. Найбільш дослідженими методами розв’язку оптимізаційних задач є методи лінійного програмування. Ці методи дозволяють досить адекватно описати і проаналізувати такі економічні проблеми як: планування виробництва певного асортименту товарів; планування товарообігу торгівельних підприємств; організація раціональних торгових перевезень; вибір оптимального маршруту доставки вантажу між пунктами призначення; розподіл робітників за посадами; розподіл товарних потоків; планування капіталовкладень; заміна торгового обладнання; вибір раціонального режиму роботи; розподіл товарних потоків, тощо.

Оскільки в економіко-математичних моделях залежності між показниками описані за допомогою функцій, то відповідно до їх виду всі вище згадані типи задач поділяють на лінійні та нелінійні. У задачах лінійного програмування критерій ефективності та функції системи обмежень лінійні.

Якщо умова задачі вимагає отримання результату в цілих числах, то така задача являється задачею цілочисленого програмування. У задачах параметричного програмування цільова функція або функція що визначає область можливих значень змінних, залежать від деяких параметрів. Якщо ця функція носить випадковий характер, то маємо задачу стохастичного програмування.

Якщо в задачі математичного програмування є змінна часу, а критерій ефективності виражений рівнянням, що описує перебіг процесу або явища в часі, то така задача називається задачею динамічного програмування.

Окремим класом задач економіко-математичного моделювання є задачі виявлення кількісних закономірностей та взаємозв’язків економічних об’єктів, визначення тенденцій, змін і прогнозування значень досліджуваного показника в майбутньому. Ці задачі розв’язуються із застосуванням економетричних методів і моделей. У практичних дослідженнях економетричні методи використовуються не тільки в економіці. Вони поширені у біології, історії, соціології та інших суспільних і природничих науках, де необхідно розробляти і оцінювати моделі, які формалізують зв’язки між великою кількістю змінних.
§2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі.
2.1. Оптимізаційні моделі з єдиним критерієм оптимальност.і

Розглянемо найпростіший тип моделей, з використанням детермінованих даних та лінійних функції для опису взаємозв’язків між елементами. Розв’язок знаходиться на деякій неперервній множині. Наведемо кілька типових задач, що розв’язуються із застосуванням оптимізаційних ЕММ.

^ Задача визначення оптимального плану виробництва: для деякої виробничої системи (цеху, підприємства, галузі) необхідно визначити план випуску n видів продукції Х = (х1, х2, …, хn) за умови найкращого способу використання її наявних ресурсів. У процесі виробництва задіяні m ресурсів: сировина, трудові ресурси, технічне оснащення тощо. Відомі загальні запаси ресурсів , норми витрат і-го ресурсу на виробництво одиниці j-ої продукції та прибуток з одиниці j-ої реалізованої продукції .

Критерій оптимальності: максимум прибутку.

Позначимо через х1, х2, …, хn обсяги виробництва відповідно першого, другого і т. д. видів продукції.

Оскільки на одиницю продукції 1-го виду витрачається ресурсу першого виду, то на виробництво першого виду продукції обсягом х1 необхідно витратити а11х1 цього ресурсу. На другий вид продукції обсягом х2 витрати першого ресурсу дорівнюватимуть а12х2 і т. д. На виробництво всіх видів продукції буде використано такий обсяг першого ресурсу: а11х1 + а12х2 + … + + а1nxn. Ця величина має не перевищувати наявного обсягу першого ресурсу — b1. Отже, обмеження щодо використання першого ресурсу матиме вигляд: а11х1 + а12х2 + … + а1nxnb1. Аналогічно записують обмеження стосовно використання всіх інших виробничих ресурсів. Прибуток від реалізації виготовленої продукції всіх видів становитиме: с1х1 + с2х2 + … + сnxn.

Загалом лінійна економіко-математична модель даної задачі матиме вигляд:

(2.1)

за умов:

(2.2)

. (2.3)

Математична модель виробничої задачі може бути застосована для різних економічних задач, де виникає проблема вибору найкращого варіанта розподілу обмеженої кількості ресурсів, хоча з першого погляду може здаватися, що постановка задачі не стосується виробничих процесів. Наведемо кілька конкретних прикладів виробничих задач.

Приклад 2.1. Фірма має 1 млн грн обігових коштів. Відомі витрати грошей у кожному місяці, а також обов’яз­кові залишки обігових коштів на кінець кожного місяця. Також передбачається, що для успішного функціонування фірма витрачатиме значно меншу суму, ніж 1 млн грн. Отже, решту коштів можна надавати у кредит. Необхідно визначити оптимальний розподіл обігових коштів протягом кварталу для досягнення максимального прибутку за процентними ставками, якщо відомі витрати та потреби в резервах:

1.01 —31.01: витрати — 80 000 грн; необхідний запас на 31.01 — 300 000 грн;

1.02 —28.02: витрати — 30 000 грн; необхідний запас на 28.02 — 200 000 грн;

1.03 —31.03: витрати — 50 000 грн; необхідний запас на 31.03 — 190 000 грн.

Кредит терміном на 1 місяць дає 2 % прибутку, терміном на 2 місяці — 5 %, а терміном на 3 місяці — 8 %.

Вважатимемо, що кредити надаються першого числа кожного місяця і погашаються також першого числа відповідного місяця.

^ Побудова економіко-математичної моделі.

Кредити терміном на один місяць можна надавати кожного місяця протягом кварталу, тому позначимо через х11 суму кредиту, що надано на один місяць з 1.01, аналогічно х12,х13 — суми одномісячних кредитів, що надані відповідно в другому та у третьому місяцях.

Кредити терміном на два місяці протягом першого кварталу можна надавати лише в першому і другому місяцях, тому позначимо через х21 суму кредиту, що надано на два місяці в січні, х22 — суму кредиту, що надана в лютому на два місяці. Нарешті, кредит на три місяці можна надати лише один раз із 1.01, його позначимо через х31.

Розглянемо ситуацію на початку першого місяця кварталу: початкова сума 1 млн грн витрачатиметься на вкладення коштів у всі види кредитів, потреби в обігових коштах для господарської діяльності фірми становитимуть 80 000 грн, а на кінець місяця фірма бажає мати резерв обсягом 300 000 грн. Отже, використання коштів у січні можна описати у моделі так:

.

Наявні кошти в кінці місяця (окрім резерву) визначаються за формулою:



На початку другого місяця сума S1 може надаватися в кредит, але лише двох видів та має забезпечувати витрати діяльності. Одночасно на початку другого місяця повертаються кошти, що є процентами за одномісячний кредит, який було надано в січні. Враховуючи необхідність резерву на кінець другого місяця, маємо таке обмеження щодо використання коштів у лютому:

,

а наприкінці лютого обсяг наявних коштів становитиме:

.

Аналогічно запишемо використання коштів у березні:

.

Загальна сума коштів, отриманих як проценти за надані кредити, дорівнюватиме:

.

Загалом математична модель цієї задачі має вигляд:



за умов:




Прикдад 2.2. Стандартом передбачається, що октанове число бензину А-76 має бути не нижчим 76, а вміст сірки — не більшим, ніж 0,3 %. Для виготовлення такого бензину на заводі використовуються чотири компоненти. Дані про обсяги запасів компонентів, які змішуються, їх вартості, октанові числа та вміст сірки наведені в табл. 2.1:

Таблиця 2.1

^

ТЕХНІКО-ЕКОНОМІЧНІ ПОКАЗНИКИ КОМПОНЕНТ БЕНЗИНУ


Показник

Компонента бензину

№ 1

№ 2

№ 3

№4

Октанове число

68

72

80

90

Вміст сірки, %

0,35

0,35

0,30

0,20

Наявний обсяг, т

700

600

500

300

Вартість, грош. од./т

40

45

60

90

Необхідно визначити, скільки тонн кожного компонента потрібно використати для того, щоб отримати 1000 т бензину А-76 з мінімальною собівартістю.

^ Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо через хj кількість j-го компонента в суміші (т), j = 1,2,3,4.

Перше обмеження забезпечує потрібне значення октанового числа в суміші:

.

Вміст сірки в суміші має не перевищувати 0,3 %:

,

а загальна маса утвореної суміші має дорівнювати 1000 т:

.

Використання кожного компонента має не перевищувати його наявного обсягу:



Собівартість суміші визначається за формулою:

.

Загалом, економіко-математична модель задачі має вигляд:



за умов:



.

Приклад 2.3. Транспортна задача: розглядається m пунктів виробництва та n пунктів споживання деякої однорідної продукції. Відомі обсяги виробництва продукції у кожному i-му пункті — та потреби кожного j-го пункту споживання –– . Також задана матриця розмірністю , елементи якої є вартостями транспортування одиниці продукції з i-го пункту виробництва до j-го пункту споживання. Необхідно визначити оптимальні обсяги перевезень продукції з урахуванням наявності продукції у виробників та забезпечення вимог споживачів.

Критерій оптимальності: мінімальна сумарна вартість перевезень.

Позначимо через хij обсяг продукції, що перевозиться від i-го виробника до j-го споживача.

Можна вивезти від кожного виробника продукцію, що є в наявності. Тому для кожного і має виконуватись умова: . Забезпечення кожного споживача потрібною кількістю продукції дає умова: для кожного . Загальна вартість перевезень є сумою добутків . Необхідно, щоб виконувалась умова . Отже, економіко-математична модель транспортної задачі має такий вигляд:



за умов:







Як і в двох попередніх задачах математична модель транспорт­ної задачі може використовуватись і тоді, коли в постановці задачі немає навіть згадки про перевезення продукції тощо.

Приклад 2.4. Фермерське господарство спеціалізується на вирощуванні озимої пшениці і має три ділянки землі площею S1 = 40 га, S2 = 90 га, S3 = 55 га. Враховуючи наявну кількість посівного матеріалу, є можливість засіяти всю площу озимою пшеницею трьох сортів. Кількість пшениці сорту «Миронівська-808» забезпечить посів на 80 га, «Безоста-1» — 60 га та «Одеська — 51» — 45 га. Урожайність сорту «Миронівська-808» на даних ділянках становить відповідно 41 ц/га, 40 ц/га, 46 ц/га. Аналогічно для сорту «Безоста-1» маємо: 38 ц/га, 41 ц/га, 45 ц/га, а для «Одеської-51» — 30 ц/га, 28 ц/га, 40 ц/га.

Необхідно розподілити посівний матеріал за земельними ділянками так, щоб отримати максимальний урожай (валовий збір) озимої пшениці.

^ Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо через хij площу (га) і-ої земельної ділянки, що буде засіяна j-м сортом озимої пшениці (домовимося, що сорти «Миронівська-808», «Безоста-1», «Одеська-51» відповідатимуть номерам 1, 2, 3), (і = 1, 2, 3), (j = 1, 2, 3).

Тоді використання земельних угідь описуватиме така система обмежень:

;

;

.

Використання посівного матеріалу формально можна описати так:

;

;

.

Валовий збір зерна розраховується як сума добутків урожайностей відповідних сортів пшениці на їх посівні площі, тобто:



Отже, економіко-математична модель задачі загалом буде мати вигляд:



за умов:



.

Наведені приклади економіко-математичних моделей економічних процесів та явищ є навчальними. Адекватні економіко-математичні моделі будуть значно складнішими.
2.2. Багатокритеріальна оптимізація.

У класичній постановці задачі лінійного програмування передбачається одна цільова функція, яка кількісно визначена. У реальних економічних системах на роль критерію оптимальності (ефективності) претендують кілька десятків показників. Наприклад, максимум чистого доходу від реалізації виробленої продукції чи максимум рівня рентабельності, мінімум собівартості виробленої продукції або мінімум витрат дефіцитних ресурсів. Крім того, бажаним є застосування кількох критеріїв одночасно, причому вони можуть бути взагалі несумісними. Наприклад, вимога досягти максимальної ефективності виробництва за мінімальних витрат ресурсів з погляду постановки математичної задачі є некоректною. Мінімальні витрати ресурсів — це нульові витрати, що мають місце за повної відсутності будь-якого процесу виробництва. Аналогічно максимальна ефективність може бути досягнута лише у разі використання певних обсягів (звичайно не нульових) ресурсів. Тому коректними є постановки задач такого типу: досягти максимальної ефективності при заданих витратах чи досягти заданого ефекту за мінімальних витрат.

Оскільки не існує єдиного універсального критерію економічної ефективності, то досить часто вдаються до розгляду багатокритеріальної оптимізації. Хоча задача лінійного програмування передбачає одну цільову функцію, розроблено математичні методи, що дають змогу будувати компромісні плани, тобто здійснювати багатокритеріальну оптимізацію.

Найчастіше способи використання багатьох критеріїв у задачах млінійного програмування зводяться до штучного об’єднання кількох вибраних показників в один. Наведемо кілька таких способів.

Нехай у задачі обрано m критеріїв оптимальності Fi . Загальний критерій може мати вигляд суми окремих показників ефективності з відповідними коефіцієнтами:

, (2.4)

де — додатні чи від’ємні коефіцієнти. Додатні коефіцієнти відповідають тим критеріям, які потрібно максимізувати, а від’ємні — тим, які мінімізуються. Абсолютні значення коефіцієнтів відповідають пріоритету (важливості) того чи іншого показника.

Наприклад, якщо розв’язується виробнича задача, то з додатними коефіцієнтами ввійдуть такі величини, як обсяг прибутку, отриманого від реалізації товарів та послуг, з від’ємними — витрати ресурсів (часу, праці), собівартість одиниці продукції.

Узагальнений критерій може подаватись у вигляді дробу, де в чисельнику знаходиться добуток показників, які необхідно максимізувати, припустимо , а в знаменнику — добуток тих, які потрібно мінімізувати :

(2.5)

Загальним недоліком критеріїв (2.4), (2.5) є те, що існує можливість недостатню ефективність одного критерію компенсувати іншим. Наприклад, зниження значення виконання попередніх замовлень може компенсуватися зменшенням використання ресурсів. Оскільки окремі величини в чисельнику та знаменнику пропорційно зменшилися, то значення дробу не змінюється, проте складені на основі таких розрахунків плани можуть призвести до негативних наслідків.

Отже, до використання зазначених способів формування цільових функцій необхідно підходити зважено та продумано.

Ще один метод запропонував І. Никовський. Оптимальний план знаходять окремо за кожним з вибраних критеріїв, після чого отримують множину значень цільової функції . На останньому етапі розв’язується початкова задача з одним критерієм виду:

, (2.6)

де — значення i-го критерію оптимальності в оптимальному компромісному плані. За такого підходу розв’язок задачі визначається за критерієм, що дорівнює мінімальному значенню модулів часток відхилень значень кожної цільової функції у компромісному плані від їх оптимальних значень у їх же оптимальних значеннях, що робить всі критерії однаково важливими. Для врахування переваг одних критеріїв над іншими доцільно застосовувати узагальнений критерій такого виду:

. (2.7)

Недоліками цих двох способів є, по-перше, жорстке співвідношення між значеннями відхилень критеріїв оптимальності, що значно звужує множину допустимих планів; по-друге, одному значенню деякого критерію може відповідати множина інших, причому таких, за яких оптимальний план з економічного погляду ефективніший; по-третє, відсутня методика об’єктивного визначення коефіцієнтів .

Зведення багатокритеріальної задачі до задачі з одним критерієм може також здійснюватися через виділення з вибраного набору показників одного, який вважають найважливішим — Fk і намагаються досягти його максимального значення (якщо необхідно знайти мінімум, то досить змінити знак показника). Всі інші показники (критерії) є другорядними, і на них накладаються обмеження виду: , де є нижньою межею значення відповідного показника, або , якщо необхідно, щоб значення показника не перевищувало . Для виробничих задач можна виділити як найважливіший показник ефективності прибуток і, максимізуючи його величину, додатково вводити обмеження щодо рентабельності виробництва не нижче або собівартості не вище певного рівня. Такі обмеження входять до системи початкових умов задачі.

Очевидно, що багатокритеріальні задачі лінійного програмування не мають універсального способу розв’язування. Отже, вибір та коректне застосування будь-якого з наведених способів залишається за суб’єктом прийняття рішень.

Схожі:

Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconТеорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач
На основі теорії двоїстості розроблено алгоритм розв’язку задач лінійного програмування так званий двоїстий симплексний метод, а...
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconРозклад
Економіко-математичні методи та моделі (економетрика) лекція проф. Козьменко О. В
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач icon«економетрія в системі економічних наук»
...
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconПлан лекції Мета І класифікація методів аналізу взаємозв’язку «витрати...
Тема Аналіз взаємозв’язку витрат, обсягу діяльності та прибутку підприємства
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconЗатверджено
Методи розв’язування задач з багатьма цільовими функціями, їх порівняльний аналіз
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconЗадача визначення оптимального плану виробництва
Основним завдання математичного програмування, як наукової дисципліни є розробка математичних методів розв’язку І побудова моделей...
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconРозділ нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем
Розв’язуючи задачі оптимального управління (планування), доводиться враховувати нелінійний характер взаємозв’язків між економічними...
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconЕкономічні закони та економічні категорії, їхня сутність та види
Сміт, Рікардо) зосередили увагу на аналізі економ явищ, започаткували теорію вартості; Марксизм (Маркс І енгельс) заперечують приватну...
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconУмови, що визначають властивості алгоритмів
Проте в явному вигляді поняття алгоритму сформувалося лише на початку 20 століття. Під алгоритмом звичайно розуміють скінченну множину...
Математичні методи І моделі розв’язку економічних задач iconХ арактеристика предмету «математичні методи оптимізації енергозбереження»...
Характеристика предмету «математичні методи оптимізації енергозбереження» та історія його виникнення
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2013
звернутися до адміністрації
mir.zavantag.com
Головна сторінка