Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи




Скачати 75.31 Kb.
НазваЛабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи
Дата конвертації27.06.2013
Розмір75.31 Kb.
ТипДокументы
mir.zavantag.com > Математика > Документы
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4
НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДОМ ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ
Мета роботи: знайти три послідовних наближення звичайного диференціального рівняння (ЗДР) та провести оцінку третього наближення на заданому відрізку.
Звичайне диференціальне рівняння має нескінченну множину розв’язків. Для відшукання будь-якого конкретного розв’язку потрібні додаткові умови. Ці умови можуть бути різними і приводити до різних задач. Коли додаткові умови задаються при одному значенні незалежної змінної, має місце задача Коші (задача з початковими умовами). У задачі Коші додаткові умови називаються початковими. Методи розв’язань звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР), що базуються на задачі Коші, поділяються на аналітичні та числові. До аналітичних відноситься метод послідовних наближень, до числових - методи Ейлера та Рунге-Кутта.

Для розвязку ЗДР методом послідовних наближень доцільно застосувати рівняння (1), на основі якого послідовно знаходять перше, друге та третє наближення

. (1)
Для оцінювання похибки третього наближення доцільно застосувати нерівність (2):

, (2)
де , , .
Варіанти завдань видає викладач
Звіт повинен містити


  1. Розв’язання вручну.

  2. Лістинг програми.

  3. Результати тестування.

  4. Висновки.

Контрольні запитання


  1. В чому полягає різниця між звичайним ДР та ДР із частинними похідними?

  2. Що є порядком ЗДР ?

  3. В чому полягає суть задачі Коші?

  4. Що є загальним розв’язком ЗДР?

  5. Поясніть суть метода послідовних наближень для розв’язання ЗДР.

^ ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5
НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДОМ ЕЙЛЕРА
Мета роботи: використовуючи метод Ейлера скласти на відрізку таблицю значень розвязку звичайного диференціального рівняння (ЗДР).
Методи розв’язання задачі Коші поділяються на однокрокові та багатокрокові.

В однокрокових методах для знаходження наступної точки на кривій потрібна інформація лише про один попередній крок (методи Ейлера та Рунге-Кутта).

У багатокрокових методах (прогнозу і корекції) для знаходження наступної точки на кривій потрібна інформація більш ніж про одну з попередніх точок. Щоб отримати достатньо точне чисельне значення часто використовується ітераційна процедура (наприклад, в методах Мілна-Адамса, Башфорта, Хеммінга).

Найбільш простим однокроковим методом, який потребує мінімальних затрат обчислювальних ресурсів, але дає змогу обчислювати результат із порівняно низькою точністю, є метод Ейлера.

Розвязання ЗДР за методом Ейлера подається в табличному вигляді (табл. 1),
Таблиця 1











(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

















Порядок заповнення таблиці:

  1. Відповідно до початкових даних заповнюємо перший рядок в стовпчиках (2), (3).

  2. З поданого рівняння обчислюємо в стовпчику (4).

  3. Зміст стовпчика (4) множимо на () і записуємо в (5).

  4. До стовпчика (3) додаємо стовпчик (5) цього ж рядка () і результат записуємо до (3) наступного рядка.

  5. Далі визначаємо і обчислення продовжуємо до тих пір, поки не буде пройдений весь відрізок.


Варіанти завдань видає викладач
Звіт повинен містити


  1. Розв’язання вручну.

  2. Лістинг програми.

  3. Результати тестування.

  4. Висновки.


Контрольні запитання


  1. В чому полягає різниця між звичайним ДР та ДР із частинними похідними?

  2. В чому полягає суть задачі Коші?

  3. Що є загальним розв’язком ЗДР?

  4. Поясніть суть метода Ейлера для розв’язання ЗДР.

  5. Дайте порівняльну характеристику метода послідовних наближень та метода Ейлера.



^ ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6
НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА
Мета роботи: використовуючи метод Рунге-Кутта з кроком знайти на відрізку розвязок звичайного диференціального рівняння (ЗДР) при заданих початкових умовах.
Більш висока точність розв’язку може бути досягнута при обчисленні вищих похідних і збереженні більшої кількості членів ряду Тейлора. Таким методом є метод Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта дає набір формул для обчислення координат внутрішніх точок, які потрібні для реалізації цієї ідеї. Оскільки існує ряд способів знаходження цих точок, то метод Рунге-Кутта об’єднує цілий клас методів для розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку. Найбільш розповсюджений класичний метод четвертого порядку точності.

Будь-яку з формул Рунге-Кутта можна використовувати для розв’язання диференціальних рівнянь вищих порядків і систем диференціальних рявнянь.
Розвязання ЗДР подається в табличному вигляді (табл. 1),
Таблиця 1













0











декількох

сотих










































1















де ,

,
- величина, що дає змогу контролювати правильність вибору кроку .
Варіанти завдань видає викладач
Звіт повинен містити

  1. Розв’язання вручну.

  2. Лістинг програми

  3. Результати тестування.

4. Висновки.

Контрольні запитання


  1. В чому полягає різниця між звичайним ДР та ДР із частинними похідними?

  2. В чому полягає суть задачі Коші?

  3. Що є загальним розв’язком ЗДР?

  4. Поясніть суть метода Рунге-Кутта для розв’язання ЗДР.

  5. Дайте порівняльну характеристику аналітичних та чисельних методів розв’язання ЗДР.


^ ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7
КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Мета роботи: методом кінцевих різниць знайти розвязок крайової задачі.
Методи розв’язання крайових задач розглядаються на прикладі звичайного диференціального рівняння другого порядку
,
при граничних умовах , . Методи розв’язання крайових задач розділяють на дві групи: методи, що побудовані на заміні розв’язання крайової задачі розв’язанням декількох задач Коші (методи “стрілянини”) та різницеві методи.

Апарат різницевих методів являє собою потужний засіб чисельного розв’язування ЗДР та диференціальних рівнянь у частинних похідних.

Для розвязування доцільно застосувати відношення центральних різниць

тоді лінійна крайова задача набуває вигляду:

де - відомі на відрізку функції,

- задані сталі.
Оцінка похибки методу кінцевих різниць має вигляд:

де - значення точного розвязку при ,
.

Варіанти завдань видає викладач

Звіт повинен містити


  1. Розв’язання вручну.

  2. Лістинг програми

  3. Результати тестування.

  4. Висновки.



Контрольні запитання


  1. Поясніть суть лінійної крайової задачі.

  2. Як збільшити точність лінійної крайової задачі для ДР другого порядку?

  3. Поясніть суть методу кінцевих різниць для ДР другого порядку.







Схожі:

Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconОрганiзацiя навчання студента (Лекцiї. Практичнi заняття. Самостiйна...
Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса
Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconКонтрольна робота з вищої математики (зем, мео) Задача 1
Розв’язати систему лінійних рівнянь трьома способами: а методом Гауса; б за формулами Крамера; в методом оберненої матриці
Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconРозв’язати систему диференціальних рівнянь способом зведення до диференціального...

Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconТема: Розв’язування систем лінійних рівнянь
Проте у тому випадку, коли система лінійних рівнянь невироджена, тобто її визначник відмінний від нуля, використовують матричний...
Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconЛабораторна робота 1 Робота визначення розміру частинок та фракційного...
Мета роботи – побудова седиментаційної кривої осідання дисперсної фази водної суспензії, визначення її гранулометричного складу та...
Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconЛабораторна робота №8 упорядкування рядків. Робота з рядками мета роботи
...
Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconЛабораторна робота №6
Мета: Сформувати вміння розв’язувати експериментальні задачі на розпізнавання органічних речовин
Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconЯкі основні етапи розв’язування задач за допомогою еом?
Дайте коротку характеристику етапу вибору (розробки) методу розв’язування задачі
Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconЛабораторна робота №5 Визначення моменту інерції маятника Максвелла Мета роботи
Мета роботи. Дослідити закон збереження механічної енергії на прикладі маятника Максвелла та визначити момент інерції металічних...
Лабораторна робота №4 наближене розв’язування звичайних диференціальних рівнянь методом послідовних наближень мета роботи iconЛабораторна робота №4
Мета роботи. Ознайомлення з одним із методів дослідження гравітаційного поля Землі
Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2013
звернутися до адміністрації
mir.zavantag.com
Головна сторінка