1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості




Назва1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості
Сторінка1/10
Дата конвертації16.06.2013
Розмір1.4 Mb.
ТипДокументы
mir.zavantag.com > Астрономия > Документы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
1. Алгебраїчні критерії стійкості імпульсних систем.

Алгебраїчні критерії стійкості. Ці критерії (критерій Гурвіца, Рауса, Льєнара-Шипара) було розроблено для дослідження стійкості безперервних систем за коефіцієнтами характеристичного рівняння, яке подано у вигляді поліному. Безпосередньо застосувати їх для дослідження імпульсних систем неможливо, оскільки характеристичне рівняння імпульсної системи у вигляді:

(3.52)

не є поліномом, а для характеристичного рівняння у вигляді:

(3.53)

умовою стійкості є розміщення усіх коренів усередині кола одиничного радіуса у площині коренів z, а не в лівій півплощині.

Тому перед застосуванням алгебраїчних критеріїв стійкості виконують білінійне w-перетворення (3.45), внаслідок чого отримують рівняння у вигляді поліному:

(3.54)

Зоною стійкості для його коренів є ліва півплощина коренів w (рис. 3.10,в). і умова стійкості для цього рівняння збігається з умовою стійкості для безперервних систем.

Наприклад, для використання критерію Гурвіца необхідно визначити передаточну функцію замкнутої системи Wз(z)=Q(z)/D(z) і записати характеристичне рівняння D(z)=0. Потім виконати підстановку (3.45) і навести отриманий вираз D(w)=0 до загального знаменника. Чисельник цього виразу, записаний у вигляді поліному

(3.55)

є новим характеристичним рівнянням, за коефіцієнтами якого досліджують стійкість системи.

Згідно з критерієм Гурвіца для стійкості імпульсної системи необхідно і достатньо, щоб при > 0 визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори були додатними.
Приклад 3.8 Визначити за критерієм Гурвіца стійкість системи, характеристичне рівняння якої має вигляд: 25z3 – 5z2 – 10z – 1 = 0.

Виконуємо w-перетворення:



Перетворене характеристичне рівняння має вигляд:



Усі коефіцієнти цього рівняння більше нуля, крім того діагональний мінор другого порядку , тому дана система стійка.
Зазначимо, що імпульсні системи другого і першого порядків на відміну від безперервних систем такого самого порядку, можуть бути нестійкими при додатних коефіцієнтах характеристичного рівняння (3.53). Це пояснюється тим, що фіксатор, який входить до складу імпульсної системи, вносить додаткове відставання за фазою.

2. Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів.

^ Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів

Аналітичним конструюванням регуляторів (АКР) називається методика синтезу оптимального регулятора для заданого об’єкта при заданих обмеженнях і критерію оптимальності, що задається у квадратичній інтегральній формі вигляду (10.8):

.

Ця методика вперше була запропонована у роботах О.М.Льотова і Р.Калмана. Кожний з підходів має свої особливості, однак обидва рішення приводять до аналогічних результатів.

Суть задачі АКР полягає у визначенні варіаційними методами керуючої дії, яка мінімізує функціонал, що характеризує відхилення траєкторії справжнього руху системи від бажаної. У процесі аналітичного конструювання регуляторів відшукують закон керування у його аналітичній формі як деяку функцію фазових координат початкової системи. Таким чином, спочатку для заданого об’єкта керування при існуючих обмеженнях відшукують оптимальну траєкторію руху системи, а потім шляхом АКР визначають диференціальне рівняння (алгоритм керування) регулятора, що гарантує мінімальне відхилення траєкторії руху об’єкта керування від знайденої оптимальної траєкторії.

Узагалі рівняннями, що описують поведінку керуючого пристрою, можуть бути рівняння Ейлера, але вони не завжди виявляються такими, що реалізуються. Крім того, ці рівняння мають неприємну властивість: якщо час процесу керування у безперервній системі є скінченним, то рівняння Ейлера, що розглядають разом з рівняннями об’єкта, відповідають нестійкій системі регулювання. Так, у разі лінійного об’єкта і квадратичного функціоналу рівняння Ейлера є лінійними, причому серед коренів характеристичного рівняння обов’язково є як ліві, так і праві корені.

Якщо приєднання регулятора робить системи нестійкою, то це приєднання не може бути тривалим. Якщо відомо, що процес оптимального керування має спорадичний (одиничний, від випадку до випадку) характер, то можна піти на використання нестійкої системи, вмикаючи її лише на той момент, коли виникла потреба здійснити оптимальне керування, і обов’язково вимикаючи її після завершення керування. У тих випадках, коли регулятор має бути весь час підключеним до об’єкта, необхідно вжити заходів щодо забезпечення стійкості системи.

Цю задачу можна розв’язати шляхом відкидання у розв’язку рівняння складових, що відповідають додатним кореням. При цьому час керування стає нескінченно великим, проте функціонал набуває найменше з усіх можливих значення для різних Т.

Розглянемо окремі випадки такого роду систем і знайдемо рівняння екстремалі, що реалізує екстремум функціоналу (10.8) для цих випадків.

Нехай критерієм якості роботи системи слугує функціонал вигляду:

(10.71)

Для знаходження екстремалі складаємо рівняння Ейлера (10.14). У даному випадку , а значить:

(10.72)

Характеристичне рівняння має вигляд:

(10.73)

Для знаходження екстремалі необхідно враховувати тільки корені рівняння: інакше система буде нестійкою. Таким чином, розв’язок рівняння (10.72) для стійкої системи має вигляд:



Сталу С визначають із початкових умов: при t = 0, y = y0, тоді

(10.74)

Рівняння (10.74) є рівнянням екстремалі. Зазначимо, що екстремаль відповідає розв’язку диференціального рівняння першого порядку: з характеристичним рівнянням де Т – постійна часу. Вагову константу r1 можна подати через цю постійну часу Т, якщо дорівняти поліноми:



Звідси r1 = Т2, і тоді рівняння екстремалі матиме вигляд:

(10.75)

Таким чином, при мінімізації функціоналу вигляду (10.71) структуру або параметри системи слід підбирати так, щоб перехідний процес у системі наближався до аперіодичного (10.75). Оскільки величина Т може бути взята різною, то маємо поле екстремалей (рис. 10.13), з яких вибираємо екстремаль, яка найбільш повно відповідає вимогам до системи.

Наприклад, якщо , то при t = 0:

. Тоді

де - припустиме значення похідної від вихідної координати.

Зазначимо, що при Т=0 отримуємо звичайний квадратичний інтегральний критерій:

(10.76)

У цьому випадку рівняння екстремалі: у = 0. Фізично це означає, що при ступінчастому змінюванні керуючої дії вихідна координата у повинна змінитися стрибком від значення у0 до у=0. Зрозуміло, що в інерційній системі такий режим не можна реалізувати. Зазначимо також, що прагнення прискорити змінювання вихідної координати призводить до різкого збільшення коефіцієнта підсилення у ланцюгу зворотного зв’язку, що, у свою чергу, сприяє збільшенню коливальності процесу.

З’ясуємо на конкретному прикладі різницю синтезу систем за критеріями (10.71) і (10.76).

Приклад 10.7 Розглянемо слідкуючу систему заданої структури (рис. 10.14), яка описується диференціальним рівнянням другого порядку. Для поліпшення якості перехідного процесу виконавчий механізм охоплений жорстким від’ємним зворотним зв’язком за швидкістю. Необхідно визначити оптимальне значення коефіцієнта зворотного зв’язку kз.з., при якому критерії І1 та І2 набувають мінімального значення.

Передавальна функція розімкнутої системи має вигляд:



а диференціальне рівняння буде:

(10.77)

Нехай вхідний сигнал змінюється стрибком від u до 0, тоді,

вважаючи у(0)=1; і позначивши:



отримуємо:

(10.78)

Визначимо величини І1 та І2 через коефіцієнти диференціального рівняння. Для цього помножимо (10.78) почергово на у і . Тоді отримаємо:

(10.79)

Врахуємо, що і обчислимо такі інтеграли:

(інтегрування частинами);



Тоді після інтегрування системи (10.79) отримаємо:



Звідси

або



Для знаходження kз.з. , що відповідає І1= min, запишемо:



Звідси оптимальне значення kз.з.:

Коефіцієнт kз.з., що відповідає І2 = min, буде за умови r1=0, тобто



Візьмемо, наприклад, Т = 0,5 с; k1 = 200; k2 = 0,25 c-1; тоді k0 = 50 c-1; a0 = T/k0 = 0,5/50 = 0,01 c2.

Оцінку І1 знаходимо, задаючи r1. Поставимо вимогу, щоб перехідний процес наближався до експоненти з постійною часу Т = 0,1 с, тоді r1 = Т2 = 0,01 с2, і відповідні коефіцієнти зворотного зв’язку мають значення:



Якість перехідного процесу визначається коефіцієнтом демпфірування , який у даному випадку (10.78) дорівнює:



З урахуванням значень kз.з.1 і kз.з.2 отримуємо відповідні значення коефіцієнта демпфірування: 1 = 0,7; 2 = 0,5.

На рис. 10.15 наведені результати моделювання перехідного процесу за допомогою пакета Matlab для обох випадків.

З графіків видно, що перерегулювання у першому випадку (kз.з.1 = 0,03; 1 = 0,7; безперервна лінія) не перевищує 5%, а у другому (kз.з.1 = 0,02; 1 = 0,5; пунктирна лінія) – досягає майже 20%, тобто вибір kз.з. за критерієм І1 (10.71) забезпечує менше перерегулювання, ніж за критерієм І2 (10.76). Подальше збільшення r1 приведе до збільшення kз.з.1 і, відповідно, 1. При цьому зменшиться перерегулювання, але зросте час перехідного процесу.


Т
Рис. 10.15 – Перехідні процеси у системі при kз.з.1=0,03 (безперервна лінія) і kз.з.2 = 0,02 (пунктирна лінія)
аким чином, при заданій структурі об’єкта ми не можемо реалізувати оптимальний перехідний процес, що мінімізує критерії І1 та І2 при будь-яких kз.з.. Це обумовлено інерційністю об’єкта керування, що залишає можливість реалізації процесу, лише близького до оптимального.
Як зазначалося раніше, у реальних системах керуючий сигнал u(t) обмежений за потужністю і величиною. Для врахування цього часто застосовують критерій вигляду (10.9):



Мінімізація цього інтеграла мінімізує величини у і u з урахуванням вагового коефіцієнта с.
Приклад 10.8 Об’єкт керування описується лінійним диференціальним рівнянням вигляду:

(10.80)

Знайти закон керування u, який забезпечує мінімум функціоналу (10.9) під час переходу з початкового стану в кінцевий стан: .

Маємо варіаційну задачу Лагранжа на умовний екстремум – знаходження мінімуму функціоналу (10.9) за наявності рівняння зв’язку, що отримуємо з рівняння об’єкта:

(10.81)

Складемо допоміжну функцію:



де  - множник Лагранжа.

Оскільки допоміжна функція містить першу і другу похідні, а також маємо дві змінні y і u, то рівняння екстремалі знайдемо як розв’язок системи рівнянь Ейлера-Пуассона (10.19):

(10.82)

З другого рівняння отримуємо: u=k/(2c), тобто для визначення оптимального керування u необхідно знайти .

Додамо до рівнянь (10.82) рівняння зв’язку (10.81) і запишемо систему в зображеннях за Лапласом:

(10.83)

Виключивши з цієї системи  і u , отримаємо:



Характеристичне рівняння має вигляд:

(10.84)

Таке саме характеристичне рівняння отримаємо і при розв’язку системи (10.83) відносно .

Поліном (10.84) можна розкласти на два із симетричним розташуванням коренів у правій і лівій півплощинах. Оскільки система передбачається стійкою, то враховуємо тільки ліві корені s1 і s2. Тоді розв’язок для  і для у буде:



Диференціюємо останнє рівняння:



Тоді можна записати систему:



Із останніх двох рівнянь знаходимо як функції координат (ці функції є лінійними) і підставивши їх до першого рівняння, отримуємо лінійну залежність координати  від координат :

(10.85)

Тоді оптимальне керування має вигляд:

(10.86)

Відповідна передавальна функція керуючого пристрою буде:

(10.87)

Таким чином, квадратичному критерію оптимальності вигляду (10.9) відповідає лінійний оптимальний закон керування (10.86), для здійснення якого необхідно мати зворотні зв’язки за всіма змінними стану системи. При цьому замкнута система залишається лінійною (рис. 10.16). Це можливе тільки за невеликих відхиленнях координат системи від положення рівноваги. Саме тому метод синтезу регулятора за квадратичним критерієм іноді називають оптимальною стабілізацією.

Зазначимо також, що функціонали, відмінні від квадратичних, обумовлюють нелінійні закони керування.

Визначити коефіцієнти b1 і b2 можна так. Оскільки характеристичне рівняння замкнутої системи є рівнянням другого порядку і має корені s1 і s2 , то його можна подати у вигляді:

(10.88)

Тут s1 і s2 корені характеристичного рівняння об’єкта (10.80) з урахуванням закону оптимального керування u=k/(2c).

З іншого боку, розв’язавши разом рівняння об’єкта (10.80) і регулятора (10.86), отримаємо:



Тоді характеристичне рівняння матиме вигляд:

(10.89)

Дорівнюємо коефіцієнти при однакових степенях у рівняннях (10.88) і (10.89) і отримуємо:

Звідси знаходимо:

Визначивши з (10.84) корені s1 і s2 , можна знайти числові значення коефіцієнтів b1 і b2.
Аналогічно можна розв’язувати задачу і для об’єктів більш високих порядків, але обчислення стають більш громіздкими.

Методи аналітичного конструювання регуляторів з розповсюдженням на різні випадки обмежень останнім часом суттєво розширені. Розв’язок загальних задач АКР лінійних об’єктів доведено до рівнянь для визначення коефіцієнтів оптимальних керувань. Більш глибоко проблему аналітичного конструювання регуляторів розглядають у спеціальному курсі “Системи оптимального керування”.
3. Аналітичний метод розрахунку та побудови фазових портретів.

^ Методи розрахунку та побудови фазових портретів

До основних методів розрахунку та побудови фазових портретів відносять: аналітичні; графічний наближений (метод ізоклін) та методи побудови за допомогою компьютерного моделювання.
^ Аналітичний метод.

Даний метод базується на розвязуванні диференціальних рівнянь руху системи.

Для початку необхідно отримати дифереціальні рівняння фазових траекторій, для чого нелінійне диференціальне рівняння системи другого порядку необхідно привести до нормальної форми Коші. Для цього спочатку диференціальне рівняння динаміки системи розв’язується відносно старшої похідної. Результат такого розв’язку можна записати у вигляді:

- загальний вигляд нелінійного диференціального рівняння, розв’язаного відносно старшої похідної,

де - регульована величина; - нелінійна функція.

Наприклад, маємо нелінійне рівняння другого порядку



Розв’язавши його відносно старшої похідної отримаємо

.

Для переходу до нормальної форми Коші здійснюємо підстановку



і отримаємо диференціальне рівняння системи у формі Коші:



Для отримання диференціального рівняння фазових траекторій, необхідно з диференціальних рівнянь у формі Коші виключити час. Цього можна досягти, поділивши перше диференціальне рівняння на друге. Отримаємо:

- диференціальне рівняння фазових траекторій.

Для побудови фазового портрету розв’язуємо диференціальне рівняння траекторій (розділяємо змінні та інтегруємо). Після чого проводимо побудову.

Якщо змінні у диференціальному рівнянні траекторій розділити не вдається, то використовують наближений метод побудови.
^ 4. Види з’єднань нелінійних елементів та розрахунок сумарних характеристик.

Якщо у систему входить декілька нелінійних елементів, з’єднаних послідовно, паралельно або зустрічно-паралельно, то сумарну характеристику можна побудувати за певними правилами.

^ Паралельне з’єднання нелінійних елементів. При паралельному з’єднанні нелінійних елементів сумарну характеристику будують як геометричну суму нелінійних характеристик окремих елементів (рис. 1.1).

^ Послідовне з’єднання двох нелінійних елементів. При послідовному з’єднанні нелінійних елементів, вихідна величина одного нелінійного елемента є вхідною для наступного нелінійного елемента (рис. 1.2 а). Тому під час побудови сумарної нелінійної характеристики систему координат другої характеристики повертають на 90, сполучаючи осі і .

У першій чверті будують характеристику НЕ1, в другій – НЕ2, в третій проводять бісектрису, за допомогою якої у четвертій чверті отримують сумарну нелінійну характеристику (рис. 1.2 б).




З’єднання нелінійних елементів зі зворотнім зв’язком.



Рис. 1.3. а) структурна схема з’єднання елементів зі зворотнім звязком; б) побудова сумарної (ІІІ) нелінійної характеристики; в) побудова сумарної (ІІІ) нелінійної характеристики при додатньому зворотньому звязку

При побудові результуючої характеристики нелінійного елемента НЕ1, охопленого нелінійним зворотнім зв’язком з характеристикою НЕ2 (рис. 1.3 а) в першому квадранті будуємо характеристику елемента НЕ1, а в другому – елемента НЕ2, повернувши систему координат протигодинникової стрілки на 90 градусів (щоб вісь вихідного сигналу НЕ1 співпала з віссю вхідного сигналу НЕ2). В цьому випадку результуюча характеристика отримається як геометрична сума характеристик НЕ1 та НЕ2, просумованих в напрямку осі хвх.
5. Види імпульсної модуляції

Розрізняють такі типи імпульсної модуляції (рис.3.2):

Амплітудно - імпульсну модуляцію (AІМ), при якій змінюється амплітуда вихідних імпульсів у залежності від значень вхідної величини в моменти квантування , де - коефіцієнт передачі імпульсного елемента.

Широтно-імпульсну модуляцію (ШІМ), при якій змінюється ширина імпульсів в залежності від значень вхідної величини в моменти квантування. Величину - називають відносною тривалістю імпульсів. Вона показує яку частину періоду слідування імпульсів складає його тривалість.

Фазово–імпульсну модуляцію (ФІМ), при якій відбувається часовий зсув імпульсів у залежності від значень вхідної величини в моменти квантування.

З усіх видів імпульсної модуляції найпростішою є АІМ. У випадку АІМ імпульсний елемент є лінійною динамічною ланкою. При амплітудно-імпульсній модуляції імпульсний елемент виробляє прямокутні імпульси однакової тривалості з амплітудою, пропорційною величині вхідного сигналу в моменти квантування.

Широке застосування систем керування з різними видами модуляції сигналу пояснюється низкою їх переваг:

- можливість багатоканального керування, тобто дискретний керуючий пристрій можна використовувати для одночасного керування декількома однотипними об’єктами;

- можливість стикування з цифровими обчислювальними пристроями, що дозволяє реалізувати більш складні закони керування;

- можливість тривалого збереження і запам’ятовування інформації;

- висока завадостійкість, надійність; підвищена точність передавання і перетворення сигналів;

- менші габарити та вага; зручність для агрегатного-блочної побудови систем.


САК з імпульсною модуляцією сигналу відрізняється від безперервної системи наявністю імпульсного модулятора, який перетворює безперервний вхідний сигнал на послідовність імпульсів. Залежно від того, який з параметрів імпульсної послідовності модулюється, тобто змінюється під дією модулюючого сигналу, розрізняють:

- амплітудно-імпульсний модулятор, якщо модулюється амплітуда вихідних імпульсів; при цьому тривалість імпульсів = const і період слідування ;

- широтно-імпульсний модулятор, якщо модулюється ширина (тривалість)  вихідних імпульсів; при цьому амплітуда ; ;

- частотно-імпульсний модулятор, якщо модулюється частота повтору імпульсів у вихідній імпульсній послідовності; амплітуда і тривалість імпульсів постійні, тобто ;  = const.
^ 6. Випадкові процеси в автоматичних системах управління
При попередніх розрахунках ми припускали, що зовнішні впливи (керуючі дії та збурення), є визначеними відомими функціями часу. У цих випадках стан системи, що описується звичайними диференціальними рівняннями, у будь-який момент часу t однозначно визначається станом системи у попередній момент часу t0 < t. Звичайно вибирають t0 = 0 і кажуть, що стан системи однозначно визначається початковими умовами і може бути точно передбаченим для будь-якого моменту часу t. Такі системи називаються детермінованими.

Однак на практиці часто зустрічаються впливи, закон зміни яких має випадковий характер і не може бути наперед точно визначений. Такими випадковими впливами є, наприклад, добові зміни навантаження енергосистеми; пориви вітру, що діють на літак; удари хвиль у гідродинамічних системах; флуктуаційні шуми у радіотехнічних пристроях тощо. При випадкових впливах даних про стан системи у момент t0 недостатньо, щоб судити про її стан у подальший момент часу t > t0.

Випадкові дії можуть прикладатися до системи зовні (зовнішні дії) або виникати усередині деяких її елементів (внутрішні шуми). Випадкові зміни властивостей системи звичайно можна звести до еквівалентного впливу деяких випадкових завад, що діють на неї, тому далі будемо вважати, що на систему діють тільки зовнішні випадкові впливи.

Розрахунок систем автоматичного управління при випадкових діях виконують за допомогою спеціальних статистичних методів. САУ, що спроектована на основі цих методів, буде забезпечувати виконання вимог, до цієї системи не тільки для одного детермінованого впливу, а для цілої сукупності впливів, що задані за допомогою статистичних характеристик.

Статистичні методи дозволяють з’ясувати лише закономірності, що є притаманними випадковим явищам масового характеру. Наприклад, якщо помилка системи має випадковий характер, то точне її значення у будь-який момент часу за допомогою статистичного розрахунку передбачити неможливо. Однак, якщо провести багато вимірювань помилки у однакових умовах, то, наприклад, середнє значення помилки шляхом статистичного розрахунку можна передбачити з достатньою точністю.
7. ^ Випадкові процеси та їх основні статистичні характеристики
Функція, значення якої при кожному значенні незалежної змінної є випадковою величиною, називається випадковою функцією. Випадкові функції, для яких змінною є час t, називають випадковими процесами або стохастичними процесами.

Якщо, наприклад, проведено n окремих випробувань, то у результаті випадковий процес X(t) може прийняти n різних невипадкових (регулярних) функцій часу xi(t), де і = 1, 2, ..., n. Будь-яка з цих функцій xi(t), якій, у результаті випробування, виявився рівним випадковий процес X(t) називається реалізацією випадкового процесу (або можливим значенням випадкового процесу). Сказати наперед, за якою з реалізацій піде процес, неможливо.

Розглянемо, наприклад, випадковий дрейф на виході підсилювача постійного струму при вхідній напрузі, що дорівнює нулю. Щоб вивчити характеристики дрейфу, можна узяти n однакових підсилювачів, помістити їх у однакові умови роботи, одночасно увімкнути і отримати n осцилограм дрейфу на виходах підсилювачів. Кожна з осцилограм є конкретною реалізацією xi(t) випадкового процесу X(t). Для будь-якого фіксованого моменту часу t = t1 реалізація випадкового процесу xi(t1) є конкретною величиною, а значення випадкової функції X(t1) є випадковою величиною, що називається перерізом випадкового процесу у момент часу t1. Тому не можна стверджувати, що випадковий процес у даний момент часу має деяке детерміноване значення, можна говорити лише про ймовірність того, що у даний момент часу значення випадкового процесу, як випадкової величини, буде знаходитись у певних границях.

Статистичні методи вивчають не кожну з реалізацій xi(t), що утворюють множину X(t), а властивості всієї множини у цілому. Тому під час дослідження автоматичної системи управління роблять висновок про її поведінку не відносно до будь-якого певного впливу, а відносно до цілої сукупності впливів.

Статистичні властивості випадкової величини х визначають за її функцією розподілу (інтегральним законом розподілу) F(x) або за щільністю ймовірності (диференціальним законом розподілу) w(x).

Випадкові величини можуть мати різні закони розподілу: рівномірний, нормальний, експоненціальний тощо. У багатьох задачах автоматичного керування дуже часто використовують нормальний закон розподілу (закон Гауса), який має місце, якщо випадкова величина визначається сумарним ефектом від впливу великої кількості різних незалежних факторів.

З курсу теорії ймовірності відомо, що випадкова величина х при нормальному законі розподілу повністю визначається математичним сподіванням (середнім значенням) mx і середнім квадратичним відхиленнямх.

Аналітичний вираз функції розподілу у цьому випадку має вигляд:

(2.1)

Аналітичний вираз щільності ймовірності для нормального закону розподілу:

(2.2)

Для випадкового процесу використовують також поняття функції розподілу F(x, t) і щільності ймовірності w(x, t), що залежать від фіксованого моменту часу t і від деякого вибраного рівня х, тобто є функціями двох змінних: х і t.

Розглянемо випадкову величину X(t1), тобто переріз випадкового процесу у момент часу t1. ^ Одномірною функцією розподілу (функцією розподілу першого порядку) випадкового процесу X(t) називають ймовірність того, що поточне значення випадкового процесу X(t1) у момент часу t1 не перевищує деякого заданого рівня (числа) х1, тобто:

(2.3)

Якщо функція F1(x1, t1) має частинну похідну за х1, тобто:

(2.4)

то функцію w1(x1, t1) називають одномірною щільністю ймовірності (щільністю ймовірності першого порядку) випадкового процесу.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Схожі:

1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості icon1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості
Рауса, Льєнара-Шипара було розроблено для дослідження стійкості безперервних систем за коефіцієнтами характеристичного рівняння,...
1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconПлан-конспект занять до теми «Основи паблік-рілейшнз (зв’язків з...
Підтема 11: Критерії оцінки якості громадянського суспільства. (Соціальна відповідальність та соціальна активність: критерії оцінки...
1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconДо дипломної роботи
«Аналіз ліквідності та фінансової стійкості підприємства в умовах реалізації стратегії підприємства»
1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconГрафік орієнтованої оцінки ступеню вертикальної стійкості повітря
Конвекція такий стан приземного шару повітря, прн якому температура поверхні грунту більша за температуру повітря на висоті 2 м від...
1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconПлан-конспект занять до теми : «Соціальна відповідальність та соціальна...
«Соціальна відповідальність та соціальна активність: критерії оцінки якості громадянського суспільства»
1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconКритерії усної полеміки/диспуту

1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconЛекція 11. Хіміко-термічна обробка сталі
Хто полягає в насиченні поверхні деталей одним або кількома хім елементами з метою підвищення зносо- та корозійної стійкості. Досягагється...
1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconТема: Аналіз ділової активності та інвестиційної привабливості підприємства
Мета: з’ясувати методику розрахунку та оцінки показників ділової активності, інвестиційної привабливості, стійкості економічного...
1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconКритерії оцінки знань студентів з дисципліни

1. Алгебра їчні критерії стійкості імпульсних систем. Алгебраїчні критерії стійкості iconС/к „Фабрики думки” Самостійне завдання Критерії здійснення аналізу

Додайте кнопку на своєму сайті:
Школьные материалы


База даних захищена авторським правом © 2013
звернутися до адміністрації
mir.zavantag.com
Головна сторінка